Số phức là gì? Ý nghĩa, vai trò của số phức trong đời sống

Kiến thức trong toán học rất rộng lớn với những chuyên mục khác nhau. Trong đó, số phức có vai trò quan trọng và nhất là trong hình học. Vậy số phức là gì? Số phức có ý nghĩa, tầm quan trọng như thế nào? Bài viết dưới đây Blog Số Đề sẽ giúp các bạn thông tin chi tiết có liên quan đến số phức.

Số phức là gì?

Như chúng ta đều biết, các phương trình bậc hai như x2 + 1 = 0 thì không có nghiệm thực, vì x2 không thể bằng – 1 được. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệp, người ta đã đưa ra khái niệm số thực, kí hiệu là i và coi đó là nghiệm của phương trình i2 = -1.

Định nghĩa số phức

• Số phức là số có dạng z = a + bi, trong đó a và b là các số thực, còn i là đơn vị ảo với i2 = -1.
• Trong biểu thức này, a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, còn i là đơn vị ảo.
• Tập hợp các số phức kí hiệu là C. Với dạng biểu thức C= {a + bi; a, b ∈ R và i2 = -1}. Như vậy ta có R⊂C.
• Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a∈R⊂C
• Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi. Đặc biệt i = 0 + 1.
• Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo.
• Số phức trong tiếng Anh là complex number. Vì thế nó mới có ký hiệu là C

Như vậy, Số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thực, hay ngược lại thì số thực là trường hợp cụ thể của số phức khi b=0.

Số phức là gì?

Số thuần ảo là gì?

Trong biểu thức z = a + bi, Nếu b=0, số phức có dạng z = a được gọi là số thực, nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.

Số phức thuần ảo là gì?

Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0. 0.

Số phức nghịch đảo là gì?

Trước khi tìm hiểu về số phức nghịch đảo,chúng ta hãy cùng ôn lại khái niệm số phức.

Số phức là biểu thức có dạng z=a+bi,trong đó a, b là các số nguyên; là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Quy ƯỚC:2=−1.

Số phức nghịch đảo,hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức, ký hiệu zl à số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức có kết quả bằng 1:z-1.z=1

Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i, hai số này được gọi là bằng nhau (z=z’) nếu cả {a = a’ và b = b’ }.

Số phức nghịch đảo là gì?

Phép toán về số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

Phép cộng : z + z’ = a + a’ + (b + b’)i

Tính chất:

• z + z’ = z’ + z, ∀z, z' ∈ C (tính chất giao hoán)
• (z + z’) + z” = z + (z’ + z”), ∀z', Z'' ∈ C (tính chất kết hợp)
• z + 0 = 0 + z, ∀z ∈ C
• -z = -a - bi là số phức đối của z = a + bi và z + (-z) = (-z) + z = 0.

Phép trừ : z - z’ = z + (- z’) = a - a’ + (b - b’)i

Phép cộng và phép trừ hai số phức có thể biểu diễn hình học bằng phép cộng và phép trừ vectơ trong mặt phẳng phức.

Phép nhân : z.z’ = aa’ - bb’ + (ab’ + a’b)i

Tính chất:

• z.z’ = z’.z, ∀z, z' ∈ C (tính chất giao hoán)
• (z.z’)z” = z(z’.z”), ∀z, z', z'' ∈ C (tính chất kết hợp)
• 1.z = z.1 = z, ∀z ∈ C
• z(z’ + z”) = z.z’ + z.z”, ∀z, z', z'' ∈ C (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)
• k(a + bi) = ka + kbi (∀k ∈ R).

Phép chia các số phức

Phép chia số phức sử dụng công thức nghịch đảo của một số phức. Đối với hai số phức z1 = a + ib, z2 = c + id, chúng ta có phép chia là

z1/z2 = (a + ib) x 1/(c + d) = (a + ib) x (c - di)/(c 2 + d 2).

Phép chia các số phức

Ý nghĩa, vai trò của số phức trong đời sống

Trong tự nhiên có cái gì mà bình phương lên lại bằng -1 không? Câu trả lời là có: phép quay 90 độ có bình phương bằng -1!

Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng số ảo i đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ (quanh điểm hay trục nào đó) trong tự nhiên! Còn số phức nói chung thì là một phép tổng hợp vừa quay vừa co giãn (phép biến đổi bảo toàn góc).

Chính vì “i chẳng qua là quay 90 độ” nên số phức có ý nghĩa rất lớn trong hình học phẳng và trong lượng giác. Nhiều vấn đề của hình học phẳng rất phức tạp, hay nhiều công thức lượng giác phức tạp, trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng số phức để giải quyết.

Trong vật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều, Đặc biệt là trong vật lý lượng tử. Bởi vật lý liên quan đến hình học, có nhiều đại lượng không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Ý nghĩa, vai trò của số phức trong đời sống

Kết luận

Hy vọng bài viết trên của Blog Số Đề đã giúp bạn hiểu khái niệm số phức là gì. Việc nắm bắt kiến thức về số phức rất quan trọng, vì số phức có ý nghĩa to lớn trong đời sống, đặc biệt là hình học, lượng giác và vật lý.

Tags liên quan: